Serie Numeriche

Le serie numeriche sono successioni costruite a partire da altre successioni. Il valore n-esimo è la somma di tutti i valori precedenti della successione.

$$ a_n = n^2 \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } S_n = \displaystyle \sum_\text{k=0}^\text{n}a_k \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \forall{n}\in \N = \{ 0,1,2,3....\} $$

$S_n$ è una serie a partire dalla successione $a_n$.

alcuni esempi

$a_0 = 0 \rightarrow S_n = \displaystyle \sum_\text{k=0}^\text{n}a_k = 0$

$a_1 = 1 \rightarrow S_n = \displaystyle \sum_\text{k=0}^\text{n}a_k = n+1$

$a_2 = 0 \rightarrow S_n = \displaystyle \sum_\text{k=0}^\text{n}a_k = \frac{n(n+1)}{2}$

$a_k = \frac{1}{k+1} \rightarrow S_n = \displaystyle \sum_\text{k=0}^\text{n}a_k = \frac{1}{k+1} = 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+....+ \frac{1}{n+1} \simeq log_2n= +\infin$

Convergenza, Divergenza e Non Convergenza

Se le somme parziali della successione $S_n$ danno come risultato un valore finito, la successione si dice convergente :

$$ \text{per }S_n =\displaystyle \sum_\text{k=0}^\infin a_k \text{ allora } \lim_{n\rightarrow \infin}\sum_\text{k=0}^n a_k = l $$

Possiamo anche scrivere :

$$ S_n =\displaystyle \sum_\text{k=0}^n a_k < \pm\infin $$

Diversamente, se il risultato della successione vale $\pm\infin$, la successione si dice divergente :

$$ \text{per } S_n =\displaystyle \sum_\text{k=0}^\infin a_k \text{ allora } \lim_{n\rightarrow \infin}\sum_\text{k=0}^n a_k = \pm\infin $$

possiamo anche scrivere :

$$ S_n =\displaystyle \sum_\text{k=0}^n a_k =\pm\infin $$

Infine, se il risultato della successione non è un valore finito, ma non vale nemmeno $\pm\infin$, la successione si dice non convergente o irregolare :